2015年06月18日

数学のルールはスポーツのルール

数学のルールには人為的なものがあります。
これを定義といいます。
定義というものはただ人間がそう決めた、
というだけで理屈のないものです。

この章でベクトルの外積は、
大きさはベクトルa,bの作る平行四辺形の面積、
向きはベクトルaからbの方向に右ねじが進む方向
のベクトルである、という話をしました。

例えば、これがなぜaからbの方向に右ねじが進む方向なのか、
その逆の方向ではダメなのか?
と問いかけても数学は答えを返してくれません。

定義は疑うものではなくて、
その定義を無条件で受け入れた時、
その先にどんな世界が広がっているか調べること、
それが数学という学問なのです。

数学は論理的と言われますが、
その原点である定義は、
ただ決めただけであって論理的というわけではありません。

私はこの関係はスポーツのルールに似ていると考えています。

例えば、サッカーはなぜ手を使ってはいけないのでしょうか?
バスケットボールはなぜボールを持って
走ってはいけないのでしょうか?

この問いに論理的な答えはありません。
しかし、この理不尽なルールを受け入れた結果、
ドリブルなどのテクニックやゲームの戦術など、
人間にとって興味深い世界が広がるのです。

数学に話を戻すと、
円周率が直径と円周の比であること、
つまり(π=3.14159…)であることも人間が決めただけであって、
それに論理的な意味はありません。
別に半径と円周の比にしてしまっても
数学の体系的には何の問題もないのです。

Euler.gif

この章で、オイラーの等式を紹介しました。
この式は数学の式の中で一番美しいとも言われますが、
仮に円周率が半径と円周の比で定義されていると
円周率は今の2倍の値(π=6.2831…)になり、
マイナスが取れてより美しい?形になります。

ですので、円周率を直径と円周の比で定義してしまったことを、
人類の大きな過ちである、と考える数学者の方もいるようです。

どう決めてしまっても問題はないのですが、
一度決めたことを覆すことはできないのですね。

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2015年06月04日

なぜ株の世界では9割の人が損をするのか?

株の世界は厳しく実に9割の人が損をすると言われています。
買ったら下がって、売ったら上がる、
なかなかうまくいかないと嘆いている人が多いですね。

でも、ランダムに売り買いをすれば、
確率的には勝ち負けの確率は五分五分のはずです。
なぜ、9割の人が損をする事態になってしまうのでしょうか?

答えは勝負の非対称性にあります。
つまり、大勝をすると
それを元手により大きな勝負をするのに対して、
大負けをしてしまうとお金が無くなるので
そこで止めざるを得なくなるのです。

言い方を変えると、みんな多少勝ちはしているはずなのですが、
「大負けするまで」勝負を繰り返しているので、
最終的にはみんな損をしているわけです。

トレーダなどプロとして株式売買をしている人もいますが、
プロに言わせると株の秘訣は損切にあると言います。

つまり、ゲームから退場せざるを得なくなる
大負けを避ける仕組みが非常に重要ということです。

ただし、人間というもの損が積み重なってくると、
大きな勝負をして負けを取り返そうとしたり、
大負けを回避するのと全く逆の行動をとってしまいがちです。
株は人間には適していないゲームと言えるのかもしれません。

このように人間に任せるとうまくいかないから、
コンピュータで機械的な売買をして
利益を出してやろうという動きも盛んです。

しかし、これにも気をつけなくてはいけないことがあります。
というのは、投資の世界では
大暴騰や大暴落などの極端な現象が、
確率や統計を用いて予測した値よりも、
多く発生する傾向があるからです。

例えば、最新の金融理論で投資を行っていた
アメリカの投資会社LTCMは、
ロシアの国債がデフォルトを起こす確率を
100万分の3と計算し買いに回りましたが、
それが裏目に出て倒産してしまいました。


また、単純な感覚としても、
「数十年に一度の暴落」が近年
何回も起きているような気がしませんか?

人間がやっても、コンピュータに任せても、
投資の世界で利益を上げ続けることは
非常に難しいことなのです。

投資を行う時には覚悟が必要です。
posted by エンジニアライター at 22:20| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2015年05月21日

コンピュータを理解すれば給料が上がる?

この章では、主にコンピュータと数学の関係について書きました。
私としてはこの知識は、
今の時代を生き抜くのに必須の知識だと思っています。

残念ながら1990年代初頭から日本のソフトウェア開発の効率が、
他国に比べて低い事が問題になっています。
ただし、その原因は開発者の能力より、
むしろ発注者の問題と言われています。

多くの場合、ソフトウェア発注を担当する担当者は
営業や総務、広報などの方が多いですが、
コンピュータへの理解が不足していて、
コンピュータが何が得意で何が苦手なのか理解していません。

ですので、要求仕様がコンピュータに適したものになっておらず、
ソフトの開発効率が悪く開発費用が想定以上になったり、
ソフトが完成してもうまく使いこなせなかったりするのです。

昇進して管理職になって部下を持てば、
部下の向き不向きを考えて役割分担を考え、
チームで最大の成果を出すことが求められるでしょう。

教育的な配慮は別として、人見知りが激しい人に
飛び込み営業をさせることもないでしょうし、
数字が苦手な人に統計分析をさせることもないでしょう。

それなのに、部下ともいえるコンピュータに対して、
全くその性質を理解せずに、
向き不向きを考えないで仕事を任せているのです。

パソコンが一人一台になって久しい今、
これでは仕事の生産性を大きく落とすことになります。

逆に言えば、コンピュータの思考回路や
向き不向きを正しく理解すれば、
仕事の生産性も上がり、給料も上がる?ことでしょう。

この本では、ページの関係でコンピュータと数学の関係について
ほんのさわりの部分しか紹介できていません。

さらに勉強してみたい方は「コンピュータが仕事を奪う」
(新井紀子著、日本経済新聞出版社)という本がおすすめです。

この本を読み解けば、
ワープロや表計算ソフトの使い方など表面的でない、
数十年後も変わらない
コンピュータの基礎知識が得られるはずです。
posted by エンジニアライター at 22:43| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2015年04月09日

とりあえず先に進んでみるのも悪くない

この本は高校数学をテーマとした本ですが、
一部に高校数学の範囲を超えた題材も入っています。
ただし、それは難しいことを紹介したいというより、
基礎を明らかにするために、
より高度な題材を紹介しているのです。

数学は積み重ねの教科と言われます。
つまり、前の単元を理解していないと、
その次には進めないということです。

例えば、割り算を知らない人に
分数を理解することはできないだろうし、
一次方程式が解けない人に
二次方程式を理解しろというのは無理な話でしょう。

それ自体は当たり前なのですが、
一つ一つ完璧に理解しなくてはいけない、
と思う必要は全くありません。

50%程度の理解でとりあえず先に進めば、
後になって意味がわかってくる、
ということも多いのです。

例えば、私が本当に微積分の意味を理解したのは、
大学で電磁気学(重積分など高度な微積分が登場する)
を学んでからでした。

さらに難しい題材を通じて、
数学を違った角度から見ることにより、
本質が明確になったということですね。

また、数学では基礎的なこと、
というものがくせものです。

受験数学で基礎と応用といえば、
ほとんどの場合は基礎の方が
簡単ということを意味しますが、
数学を実用する上ではそれは成り立ちません。

むしろ、使う(応用)はできるけれど、
なぜなのか(基礎)がわからない、
ということの方が多かったりします。

例えば分数の割り算を考えてみましょう。
分数の割り算は、
分母と分子をひっくり返して掛けると
いうことは知っているかと思います。

ただ、なぜひっくり返せば良いかというと、
多くの人が答えにつまるのではないでしょうか?

これは応用(割り算ができること)よりも、
基礎(なぜできるか?)ということの方が難しい例なのです。
 
真面目な人ほど、しっかり理解しないと次には進めない、
と考えて一つのことにこだわる傾向があります。

確かに、数学などの自然科学を研究する上で、
一つのことを探求することは重要です。

しかし、ものごとを学ぶ段階では少しルーズに考えて、
ある程度できるようになったら
とりあえず先に進んでしまう方が
近道になることが多いと思いますね。

posted by エンジニアライター at 21:31| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2015年03月25日

円周率は3でいい

関数のところでも話しましたが、
教科書の数学と実際に使う数学の違いには、
誤差の有り無しの違いがあります。

教科書で登場する数字は絶対ですが、
実際の世の中の数字には必ず誤差が含まれています。


例えば、ある正方形の部品の一辺の長さを
定規で測って12.3mmだったとします。
でも、その定規にミリの目盛までしかなければ、
それ以下の長さは測れません。

つまり、測定した値が12.3mmとしても、
それは12.25〜12.35mmくらいの間である
ことしかわからないわけです。

次に、この長さの測定値から、
部品の面積を計算することを考えてみましょう。
部品の面積は長さの2乗ですから、
150.0〜152.5mm2くらいの間にあることがわかります。
すると、面積の小数点以下の数字には
全く意味はないということになりますね。

この章で近似の技術を紹介しました。
近似の技術を使えば数字の精度を
高くすることはできますが、
そのためには膨大な計算をしなくてはなりません。

コンピュータに計算を任せるにしても、
処理時間が増えてしまうと問題になります。

どこまで精密に近似を行うか?
その時に考慮するべきことが、
扱う数字の誤差なのです。

数字の誤差を超えた精度で計算をしても
何の意味もありません。

ゆとり教育の批判として、
円周率が約3となっているということが
よくやり玉に挙げられています。

ただ、エンジニアが現場で使う数学では
円周率が3で十分なケースも多いのです。

実際の数学を使う現場では、
数字に1割程度の誤差が想定されることも多いです。

つまり、もともと他の数字に
1割の誤差があるのだから、
円周率が3.14だろうが3だろうが
全体の誤差は変わらないのですね。

こんな場合では、
3を使うことがよりスマートなやり方です。

とりあえず精度の良い数字を使っておけば良い、
精度が良すぎて困ることなんてないだろ、
という主張も多少の理があるといえるかもしれません。

しかし時と場合により、円周率を3とするか、
3.14とするか、さらにそれでも足らずに
3.14159としなくてはならないのか、
そんな判断ができる人が、数学センスがある人、
つまり本当に数学ができる人だと思うのです。

円周率をかたくなに"3.14"と信じていてはいけません。

posted by エンジニアライター at 22:18| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする