『解析学図鑑: 微分・積分から微分方程式・数値解析まで』
が発売されました。
これは理工系大学の
初級程度の内容になっていて、
読む人は選びます。
しかしターゲット読者にとっては、
これ以上ない理解のしやすさ
となっていますので、
自分や知人がターゲットと思う方は
ぜひ、読んでみて下さい。
以下に「まえがき」を示します。
本書の目的は、
数学を使って仕事や研究をする方、
理工系や経済系の学生、エンジニア、
統計学が必要な方などに、
解析学の全体像を
楽に素早くつかんでもらうことです。
高校レベルの関数や微積分の話に始まり、
多変数関数の微積分、ベクトル解析、
複素関数論、微分方程式、数値解析までを
1 冊の本にまとめてあります。
読者対象の多くの方は、
「大学に入ると急に数学が理解しづらくなる」
と感じているのではないでしょうか。
確かに大学に入ると、数学が急に難しくなります。
その理由は大きく2 つあります。
1 つは、高校までの数学と比べて、
大学からの数学は高度に
抽象化されているからです。
もう1 つは、大学からの数学は、
定理の証明に重点が置かれ、
定理の意味や必然性が
わかりにくいからです。
本書では、その2 つを
徹底的につぶすことにこだわりました。
まず、本書では記述を
なるべく抽象化させず、
具体的な事例、グラフや図を通じて
理解できるようにしました。
イラストや吹き出しを利用して、
視覚的に理解ができるよう
にも配慮しています。
次に、本書では特別な場合を除いて、
定理の証明や式の導出には触れていません。
学習初期に全体像をつかむときには、
証明がノイズになると考えるからです。
ですから証明よりも、
その定理の意味や必然性を
言葉で説明することに重点を置きました。
実は、私は数学の専門家ではありません。
半導体の設計に関わる仕事をしている
エンジニアです。
担当業務はモデリングと呼ばれる、
微積分や行列、ベクトル、
統計学などの数学を駆使して、
半導体素子の特性を数式化する仕事です。
このように、
私は数学自体を研究するのでなく、
数学を使い倒す側の人間なのです。
ですから、数学の専門家から見れば
厳密でない表現もあるでしょう。
しかし、私のような理解を
必要とされている方も多いはずです。
私はそんな方に向けて本書を著しました。
さあ、これから解析学を
さっと学んでしまいましょう。
本書を使えば、最短期間で必要な
解析学の基礎が学べることでしょう。
浮いた時間は、あなたが
本当にやるべき仕事に使ってください。
本書があなたの学習や研究、仕事を
前進させ、生活を豊かにすることを
祈っています。
2021 年6 月 蔵本 貴文
第1章 関数と数列
1-1 数字を吐き出す箱 関数
1-2 逆向き、入れ子、ほのめかし 逆関数、合成関数、陰関数
1-3 関数の基礎の基礎 べき関数（n次関数）
1-4 サインコサインは三角というより波関数 三角関数
1-5 ねずみ算的な増加の表し方 指数関数
1-6 デカい数をコンパクトに表す 対数関数
1-7 解析学を学ぶカギ 数列
1-8 ややこしそうだが役に立つ 媒介変数、極座標
Column 対数グラフの使い方
第2章 微分法
2-1 「限りなく近づく」とは 極限、無限大
2-2 微分係数はこうやって理解する 微分の定義
2-3 とにかく覚えよう 主要関数の微分
2-4 テクニックの紹介 いろいろな微分公式
2-5 株価の予測にも役立つ 関数の増減・凹凸、高次導関数
2-6 当たり前だが奥深い 中間値の定理、平均値の定理
2-7 実用数学の必須テク テイラー展開、マクローリン展開
2-8 「限りなく近づく」を厳密に ε-δ論法
Column 関数の増減や凹凸と株価の変動
第3章 積分法
3-1 無限個を加えても無限大になるとは限らない 無限級数
3-2 積分には2つの意味がある 積分、微積分の基本定理
3-3 結局覚えるしかない 不定積分の公式
3-4 面積の区間を考えよう 定積分の公式
3-5 複雑な積分を求める必須テク 部分積分、置換積分
3-6 積分で求められるいろいろな量 体積、曲線の長さ
3-7 【発展内容】積分を拡張する ルベーグ積分
Column 車が自転車に追いつけない？？
第4章 多変数の関数
4-1 「それ以外」は固定して微分するだけ 偏微分
4-2 ∂とdは何が違うのか？ 全微分
4-3 とにかく便利な計算法 ラグランジュの未定乗数法
4-4 単に複数回積分するだけ 重積分
4-5 多変数で座標変換すると？ 連鎖律、ヤコビアン
4-6 さまざまな領域での積分 線積分、面積分
Column ラグランジュの未定乗数法はなぜ成り立つのか？
第5章 ベクトル解析
5-1 矢印にもいろいろな性質 ベクトルの基礎
5-2 次元が増えるだけで実は簡単 ベクトルの微分・積分
5-3 最も急な向きを指し示すベクトル 勾配（grad）
5-4 湧き出しや吸い込みを表すスカラー 発散（div）
5-5 微小な水車を回す作用を表すベクトル 回転（rot）
5-6 結果はスカラー ベクトル関数の線積分、面積分
5-7 ベクトル解析の集大成 ストークスの定理、ガウスの定理
Column アンペールの法則からベクトルの回転を理解する
第6章 複素関数
6-1 i^2＝−1だけではない 複素数の基礎
6-2 指数関数と三角関数のかけ橋 オイラーの公式
6-3 値が無数に存在することも さまざまな複素関数
6-4 複素関数の微分の考え方とは コーシー・リーマンの関係式
6-5 複素関数の積分の考え方とは コーシーの積分定理
6-6 複素関数は実関数の積分で役立つ 留数定理
6-7 理工学で重宝、実用度No.1 フーリエ変換
Column 複素数の利便性とクォータニオン
第7章 微分方程式
7-1 科学の土台となるツール 微分方程式の基本
7-2 型はしっかり押さえておこう 基本的な常微分方程式の解法
7-3 微分方程式が楽に解ける ラプラス変換
7-4 多変数関数の微分方程式 偏微分方程式
第8章 近似、数値計算
8-1 何を捨てるかが最も難しい 1次の近似
8-2 実用度No.1の方程式の数値解法 ニュートン・ラフソン法
8-3 差分になったら微分も簡単 数値微分
8-4 単に面積を求めるだけ 数値積分
8-5 常微分方程式の代表的な数値解法 オイラー法、ルンゲ・クッタ法
